Анонс

Конференції, школи, семінари

25 березня 2017 року об 11:30 - тренінг «Як успішно пройти співбесіду» . Запрошення

29 березня 2017 року і далі щосереди - факультативний курс «Основи моделювання в SAS Enterprise Miner». Запрошення

23 квітня 2017 року об 10:00 Механіко-математичний факультет запрошує на Очний тур олімпіади з математики для школярів

23 квітня 2017 року об 13:00 Механіко-математичний факультет запрошує на День відкритих дверей

Продовжується студентське опитування, що розроблене групою фахівців міжнародного рейтингу U-Multirank. Запрошення

Щосуботи на мехматі для студентів та абітурієнтів- Business-Leader School KNU. Реєстрація

Вхід

5 + 0 =
x

#{title}

#{text}

Ви є тут

Комп’ютерна математика


Інформаційний світ, який нас оточує, щодня створює величезні масиви
цифрових даних, які потребують обробки, зберігання та аналізу. В сучасному
цифровому суспільстві кожен щодня стикається з досягненнями і проблемами
інформатизації життя. З цими та іншими завданнями допомагають справитися
спеціалісти різних професій. Але найважливіша і найцінніша частина роботи
виконується фахівцями з комп’ютерних наук, тобто наук про обчислення. Це
розділ прикладної математики, поява і розвиток якого відбулися лише
завдяки фундаментальній математиці. Практично всі розробники перших
комп’ютерів були математиками.

Тому поява спеціальності «комп’ютерна математика» на
механіко-математичному факультеті не є випадковою. Звичайно, найпростішим
навичкам програмування, достатнім для більшості програмістів, можна
навчитися використовуючи мінімум математичних знань. Проте вирости у
висококваліфікованого спеціаліста, який володіє широким спектром знань та
умінь, без математичної підготовки дуже складно. Не маючи серйозної
математичної освіти практично неможливо стати кваліфікованим
спеціалістом за такими спеціальностями як

  • «Обробка даних» (Data scientist) (1),
  • «Захист інформації» (Information Security Analist) (3),
  • «Програмна інженерія» (Software Engineer) (7),
  • «Комп’ютерні системи» (Computer Systems Analyst) (8)

(в дужках вказані позиції цих спеціальностей у відомому світовому рейтингу «Careercast» кращих
спеціальностей за 2016 рік,
http://www.careercast.com/jobs-rated/best-jobs-2016).

Зауважимо, що і
традиційні для механіко-математичного факультету спеціальності
«Математик». «Статистик» і «Актуарій» займають в цьому рейтингу відповідно
6 місце, 2 місце і 10 місце.

  1. * Освітня програма

    1 курс, 1 семестр

    1. Математичний аналіз
    2. Вступ до спеціальності
    3. Конкретна математика
    4. Програмування
    5. Іноземна мова

    1 курс, 2 семестр

    1. Математичний аналіз
    2. Лінійна алгебра
    3. Дискретна математика
    4. Програмування
    5. Вступ до університетських студій
    6. Іноземна мова

    2 курс, 3 семестр

    1. Багатовимірний аналіз
    2. Алгебра
    3. Алгоритми і структури даних
    4. Комбінаторика (модуль: Елементарна теорія ймовірностей)
    5. Філософія
    6. Основи екології

    2 курс, 4 семестр

    1. Диференціальні рівняння
    2. Теорія ймовірностей
    3. Математична логіка
    4. Прикладне програмування
    5. Українська та зарубіжна культура
    6. Соціально-політичні студії
    7. Інтерактивні ділові бізнес-ігри / Науковий семінар з навичок ефективної презентації

    3 курс, 5 семестр

    1. Мова програмування C/C++
    2. Комп’ютерна статистика
    3. Аналіз алгоритмів / Теорія складності
    4. Комплексний аналіз
    5. Комп’ютерна графіка / Візуалізація даних
    6. Математичні методи в економіці / Економічна теорія

    3 курс, 6 семестр

    1. Мова програмування Java
    2. Обчислювальна та диференціальна геометрія
    3. Аналіз даних / Великі дані
    4. Теорія чисел та криптографія
    5. Науковий образ світу
    6. Курсовий проект з технології обчислювального експерименту / Курсовий проект з сучасних інформаційних систем та технологій / Курсовий проект з теорії обчислювальності / Курсовий проект з комп’ютерної алгебри

    4 курс, 7 семестр

    1. Динамічні системи / Математична фізика
    2. Методи оптимізації / Лінійне програмування
    3. Теорія інформації і кодування
    4. Бази даних / Функціональне програмування / Розробка програмних продуктів / Комбінаторна оптимізація
    5. Іноземна мова
    6. Навчальна практика із сучасних інформаційних систем та технологій (без відриву від навчання) / Навчальна практика з методів обчислень (без відриву від навчання)

    4 курс, 8 семестр

    1. Автомати та мови
    2. Математичні основи захисту інформації / Криптографічні протоколи
    3. Розпізнавання образів / Машинний зір / Машинне навчання
    4. Обчислювальна математика / Технології обчислювальних експериментів
    5. Квантові обчислення / Програмні продукти для мобільних пристроїв / Веб-програмування / Управління проектами / Обробка великих даних
    6. Вибрані розділи трудового права і основ підприємницької діяльності
    7. Курсовий проект з інтернет-технологій / Курсовий проект з інформаційної безпеки / Курсовий проект з математичних основ захисту інформації / Курсовий проект з розпізнавання мов / Курсовий проект з розпізнавання образів / Курсовий проект з баз даних / Курсовий проект з аналізу даних
  2. * Блоки дисциплін
    1. Математичний блок
      1. Вступ до спеціальності
      2. Конкретна математика
      3. Математичний аналіз
      4. Багатовимірний аналіз
      5. Лінійна алгебра
      6. Алгебра
      7. Дискретна математика
      8. Комбінаторика
      9. Математична логіка
      10. Теорія ймовірностей
      11. Диференціальні рівняння
      12. Комплексний аналіз
      13. Обчислювальна та диференціальна геометрія
      14. Динамічні системи / Математична фізика
    2. Аналіз даних (Data Science)
      1. Комп'ютерна статистика
      2. Аналіз алгоритмів
      3. Комбінаторна оптимізація
      4. Аналіз даних
      5. Візуалізація даних
      6. Обробка великих даних
      7. Машинне навчання
    3. Комбінаторний блок
      1. Конкретна математика
      2. Комбінаторика
      3. Дискретна математика
      4. Алгоритми та структури даних
      5. Аналіз алгоритмів
      6. Комбінаторна оптимізація
    4. Математичні основи комп’ютерних наук
      1. Дискретна математика
      2. Математична логіка
      3. Теорія складності
      4. Автомати та мови
      5. Теорія інформації і кодування
      6. Теорія чисел та криптографія
      7. Математичні основи захисту інформації / Криптографічні протоколи
    5. Обчислювальна математика (Computational Mathematics)
      1. Обчислювальна математика
      2. Методи оптимізації
      3. Обчислювальна та диференціальна геометрія
      4. Алгоритмічна теорія чисел
      5. Системи символьних обчислень
      6. Квантові обчислення
    6. Програмування

      1. Програмування
      2. Алгоритми та структури даних
      3. Прикладне програмування
      4. Мова програмування C/C++
      5. Мова програмування Java
      6. Функціональне програмування
      7. Бази даних
      8. Комп’ютерна графіка
      9. Розпізнавання образів
      10. Інтернет-технології
  3. * Опис курсів
    1. Вступ до спеціальності
      Даний курс присвячено вивченню основних об’єктів в математиці та роботі з ними в комп’ютерних пакетах (Matlab, Maple, Mathematica, Matcad). Цей курс включає наступні теми: елементи теорії множин, функції та відношення на множинах, вектори, матриці та операції з ними, прямі на площині, прямі та площини у просторі.
    2. Конкретна математика
      Даний курс передбачає знайомство з мовою математики та математичними доведеннями через вивчення основних алгебраїчних та комбінаторних структур. Курс включає такі теми: елементи теорії чисел, модулярну арифметику, раціональні, дійсні та комплексні числа, многочлени, знайомство з логікою та математичними міркуваннями, методи доведення, математична індукція, робота з сумами та рекурсіями, елементи комбінаторики.
    3. Автомати та мови
      Скінченні автомати і регулярні мови.

      Напівгрупи слів і мов. Регулярні вирази. Детерміновані та недетерміновані автомати. Теорема Кліні-Рабіна-Скотта. Властивості і застосування регулярних мов. Формальні граматики. Контекстно-вільні мови.

      Символьна динаміка.

      Простори зсуву. Мови просторів зсуву. Блочні кодування. Скінченні зсуви. Софічні зсуви. Ентропія просторів зсуву. Коди.


      Комбінаторика слів.

      Автомати Мілі. Напівгрупи автоматних перетворень. Автоматні послідовності. Слова Туе-Морса. Слова Штурма.

    4. Аналіз алгоритмів
      Засоби аналізу алгоритмів.

      Детерміновані і ймовірносні алгоритми. Асимптотична складність. Складність у найгіршому та в середньому випадках. Ефективні алгоритми. Рекурентні співвідношення. Генератриси. Аналітична комбінаторика.

      Алгоритмічні задачі.

      Сортування і пошук. Слова і дерева префіксів. Обходи графів. Метричні задачі в теорії графів. Підстановки. Слова і дерева префіксів. Тестування простоти.

    5. Алгоритми і структури даних
      Аналіз складності алгоритмів.
      Одновимірні масиви. Алгоритми сортування та пошуку.
      Алгоритми обробки текстів.
      Лінійні рекурсивні структури даних: стек, черга, дек, список.
      Хеш-таблиці. Дерева. Бінарні дерева пошуку.
      Графи. Обхід графів. Алгоритми на графах.
      Алгоритми навігації у просторі. Лабіринти.
      Алгоритми повного перебору.
      Динамічне програмування.
    6. Мова програмування C/C++
      Огляд інтегрованих середовищ розробки для написання програм мовою С/С++.
      Синтаксис мови програмування. Прості типи даних. Структурне програмування на С/С++: умовний оператор, цикли, підпрограми. Шаблони функцій.
      Директиви препроцесора.
      Модульна структура програм (компіляція та компонування проекту, утиліти Make та CMake). Створення статичних та динамічних бібліотек.
      Об’єктно-орієнтоване програмування (Інкапсуляція, наслідування, поліморфізм, перевантаження методів та операцій). Абстрактні класи
      STL (типи даних, колекції, ітератори, алгоритми) та його застосування до обробки даних.
      Багатопоточність. Обробка виключень.
    7. Комп’ютерна графіка / Візуалізація даних
      Основні можливості та призначення відкритої графічної бібліотеки OpenGL.
      Конвеєр візуалізації OpenGL.
      Основні поняття комп’ютерної графіки: Вершини, кольори. Буфери кольору, глибини та шаблону. Керування станом та малюванням геометричних об’єктів.
      Геометричні примітиви та їхнє зображення. Вершинні буфери.
      Шейдери та шейдерна мова GLSL. Атрибути (attribute), уніформи (uniform) та змінні (varying). Передача даних на відеокарту.
      ЗD-графіка. Модель та сцена. Вид, як симуляція фотокамери. Проекція сцени. Базові матриці перетворень.
      VBO та VAO.
      Текстурування (текстура, текстурні координати та способи натягування текстури на 3D-об’єкт).
      Матеріал та його властивості (ambient, diffuse, specular). Джерела світла.
      Карти нормалей та інші методи рельєфного текстурування.
      FBO – буфер кадра та його призначення.
      Зображення тіней.
    8. Мова програмування Java
      Огляд інтегрованих середовищ розробки для написання програм мовою Java.
      Синтаксис мови програмування. Прості типи даних. Структурне програмування: умовний оператор, цикли, підпрограми. Шаблони функцій.
      Модульна структура програм. Створення і використання пакетів. Створення бібліотек.
      Об’єктно-орієнтоване програмування: Інкапсуляція, наслідування, поліморфізм. Перевантаження методів.
      Абстрактні класи та інтерфейси. Вкладені, анонімні та локальні класи.
      Java Collections Framework.
      Обробка виключень.
      Багатопоточність.
      Моделі обробки подій.
    9. Програмні продукти для мобільних пристроїв
      Огляд фреймворків для створення програмних продуктів для мобільних пристроїв.
      Основи архітектури операційної системи Android. Архітектура застосунку для операційної системи Android.
      Огляд інтегрованих середовищ розробки для написання програм для операційної системи Android. Встановлення та налаштування середовища розробки Android Studio.
      Activity та Layout-файли. View-елементи: кнопки, меню, списки.
      Обробники подій.
      Зберігання та завантаження даних. Папки ресурсів та ассетів.
      Intent, Intent Filter, Context, Task. Activity Lifecycle.
      Діалоги: налаштування та обробники операцій.
      Багатопоточність. AsyncTask. Handler.
      Віджети.
      Графіка та малювання за допомогою бібліотеки Canvas.
      Медіа: звук та камера.
    10. Вступ до програмування
      Призначення і сфера застосування математичних систем типу MATLAB, MAPLE, MATHEMATICA, MATCAD. Математичний пакет MATLAB. Операційне середовище і основні команди в режимі інтерактивної роботи. Типи даних та побудова виразів. Основні групи вбудованих функцій. Основні керуючі структури алгоритмічної мови MATLAB. Принцип побудови М-файлів і М-функцій користувача та їх виклик. Побудова графіків. Базові основи символьних обчислень в MATLAB і системі комп'ютерної алгебри MAPLE. Символьні об’єкти, вирази. Основні групи вбудованих функції для аналітичних перетворень.
    11. Математична логіка

      Логіка висловлювань та предикатів.

      Висловлювання, логічні дії, формули. Тавтології та виконливі формули. Логічний наслідок та рівносильність формул. Булеві функції та булева логіка. Предикати та дії над ними, формули. Загальнозначимі та виконливі формули. Логічний наслідок та рівносильність формул. Логіка одномісних предикатів.

      Формальні теорії.

      Аксіоматичні теорії. Числення висловлювань як формальна теорія. Теорема про дедукцію. Теорема про адекватність. Теорії першого порядку, числення предикатів. Несуперечливість числення предикатів. Теорема про дедукцію. Моделі, теорема про зліченну модель. Теорема Гьоделя про повноту. Теорема Левенгайма-Сколема. Теорема компактності. Теорії з рівністю. Елементарні теорії. Теорії другого порядку.

      Теорія обчислюваності.

      Машини Тьюрінга, обчислюваність за Тьюрінгом. Примітивно рекурсивні та рекурсивні функції. Машини з необмеженими регістрами. Системи Поста. Теза Чьорча. Універсальні функції та теорема про підстановку. Рекурсивні та рекурсивно зліченні множини і предикати. Необчислювані функції та алгоритмічно нерозв’язні проблеми. Формальна арифметика. Теорема Гьоделя про неповноту.

    12. Обчислювальна математика

      Методи розв`язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь.

      Метод редукції до задачі Коші для лінійного рівняння другого порядку і для лінійної системи n рівнянь. Загальний алгоритм застосування методу скінченних різниць (МСР) для крайових задач. Основні поняття теорії різницевих схем (РС): оцінка похибки апроксимації, дослідження стійкості і збіжності. Застосування МСР для лінійних і квазілінійних крайових задач. Методи підвищення порядку апроксимації. Інтегро-інтерполяційний метод (ІІМ) побудови РЗ для крайових задач ЗДР з розривними коефіцієнтами. Чисельні методи розв`язування задач на власні значення. Метод скінчених елементів розв`язування крайових задач для ЗДР. Метод скінчених елементів на прикладі несамоспряженної крайової задачі для рівняння другого порядку. Проекційні і варіаційні методи розв`язування крайових задач для ЗДР.

      Диференціальні рівняння з частинними похідними.

      Метод Роте для нестаціонарних систем різнотипових рівнянь. МСР для диференціальних рівнянь з частинними похідними. Методи дослідження стійкості та збіжності РС.

      Одновимірні рівняння переносу.
      РС для одновимірних рівнянь переносу та їх аналіз. Побудова консервативних РС для нелінійного рівняння переносу.

      Параболічні рівняння.
      Побудова та дослідження апроксимації, стійкості та збіжності явних та неявних РС. РС підвищенного порядку апроксимації. Дискретизація крайових умов. РС двовимірних параболічних рівнянь. Економічні РС. Повздовжньо-поперечна РС та її дослідження. РС багатовимірних параболічних рівнянь. Локально-однорідна РС та її дослідження.

      Рівняння типу Шредінгера.
      РС з ваговим коефіцієнтом. Особливість РС для рівняння типу Шредінгера. Дослідження лінійних РС. Побудова повністью консервативної РС для двовимірного квазілінійного рівняння типу Шредінгера з нелінійністю певного типу. Консервативні РС для систем квазілінійного рівняння типу Шредінгера.

      Еліптичні рівняння
      Побудова та дослідження апроксимації, стійкості та збіжності РС для еліптичних рівнянь в прямокутній області. Ітераційні методи для розв’язання побудованих СЛАР. Зведення крайової задачі для еліптичних рівнянь до послідовності задач параболічного типу. Використання економічних РС.

      Гіперболічні рівняння
      Явні РС та РС з ваговим коефіцієнтом. Особливість РС для гіперболічних рівнянь. Аналіз стійкості та збіжності РС.

    13. Комбінаторика
      Класичне означення ймовірності. Властивості ймовірності у класичній моделі. Умовна ймовірність і незалежність у класичній моделі. Дискретний ймовірнісний простір. Властивості ймовірності на дискретному просторі. Умовна ймовірність на дискретному ймовірнісному просторі. Незалежність подій. Формула повної ймовірності. Апостеріорні ймовірності та формула Байєса. Випадкові величини на дискретному ймовірнісному просторі. Розподіл випадкової величини на дискретному ймовірнісному просторі. Сумісний розподіл. Незалежні випадкові величини. Математичне сподівання випадкової величини на дискретному просторі. Властивості математичного сподівання. Схема випробувань Бернуллі. Розподіл Бернуллі. Біноміальний розподіл. Геометричний розподіл. Від'ємний біноміальний розподіл. Локальна та інтегральна граничні теореми де Муавра-Лапласа. Розподіл Пуассона. Гранична теорема Пуассона.
    14. Теорія ймовірностей і теорія міри

      Аксіоматичне визначення ймовірностей і основи теорії міри.

      Аксіоматичне визначення ймовірності. σ-алгебра випадкових подій, властивості. Міра. Ймовірність, її властивості. Класи множин. Породжені класи. Теорема про монотоний клас. Класи множин. Теорема про монотонний клас. Теорема про π-λ-систему та її застосування. Борельові σ-алгебри. Продовження мір. Теорема Каратеодорі. Міра Лебега-Стілтьєса. Багатовимірна функція розподілу. Багатовимірна міра Лебега-Стілтьєса. Повнота та поповнення міри. Добуток мір.

      Випадкові величини, вимірні функції та інтегрування.

      Вимірні функції. Теорема про суперпозицію. Критерій вимірності. Перетворення. Випадкові величини. Перетворення випадкових величин. Розподіл і функція розподілу. Обчислення ймовірностей через функцію розподілу. Дискретні випадкові величини. Абсолютно неперервні випадкові величини. Щільність розподілу. Перетворення щільності. Абсолютно неперервні міри. Теорема Радона-Нікодима. Математичне сподівання простої випадкової величини. Математичне сподівання невід’ємної випадкової величини. Загальне означення математичного сподівання. Інтеграл Лебега. Властивості математичного сподівання та інтегралу Лебега. Граничний перехід під знаками математичного сподівання та інтегралу Лебега. Дисперсія випадкової величини та її властивості. Основні дискретні й абсолютно неперервні розподіли та їхні числові характеристики. Випадковий вектор, функція розподілу. Сумісний розподіл випадкових величин, сумісна функція розподілу. Сумісна щільність, її властивості. Перетворення сумісної щільності. Незалежні випадкові величини. Теореми Тонеллі та Фубіні. Перетворення незалежних випадкових величин. Математичне сподівання добутку незалежних величин. Математичне сподівання функції від незалежних величин. Дисперсія суми незалежних величин. Коваріація випадкових величин та коваріаційна матриця. Багатовимірний нормальний розподіл.

      Граничні теореми теорії ймовірностей.

      Основні ймовірнісні та інтегральні нерівності. Збіжність за ймовірністю. Збіжність за мірою. Властивості. Обмеженість за ймовірністю. Збіжність у середньому порядку p. Простори Lp . Фундаментальність. Збіжність майже напевно. Критерій збіжності майже напевно. Лема Бореля-Кантеллі. Зв'язок між різними типами збіжності. Рівномірна інтегрованість і граничні теореми. Теорема Чебишова про закон великих чисел. Нерівність Колмогорова. Посилений закон великих чисел. Критерій Колмогорова закону великих чисел для однаково розподілених величин. Застосування закону великих чисел. Слабка збіжність випадкових величин і розподілів. Слабка компактність. Теорема Хеллі про компактність в основному. Теорема Прохорова. Характеристична функція. Властивості характеристичної функції. Формула обертання для характеристичної функції. Теорема Леві. Класична центральна гранична теорема. Загальна гранична теорема і центральна гранична теорема для стандартної послідовності серій. Теорема Пуассона для стандартної послідовності серій. Центральна гранична теорема для загальної послідовності серій. Характеристичні функції та слабка збіжність випадкових векторів. Векторна центральна гранична теорема.

    15. Комп’ютерна статистика
      Предмет математичної статистики. Вибірковий метод в статистиці. Вибірковий простір, варіаційний ряд, статистика, статистична оцінка. Властивості оцінок. Оцінювання невідомої ймовірності події. Емпірична функція розподілу. Порядкові статистики, вибіркові квантилі, їхні асимптотичні властивості. Вибіркові моменти. Метод моментів. Вибіркові середні та дисперсії, їх властивості. Оцінювання параметрів розподілу за допомогою емпіричного розподілу. Метод максимальної вірогідності. Рівняння максимальної вірогідності. Оцінки максимальної вірогідності параметрів нормального розподілу. Інтервальні оцінки. Рівень довіри. Побудова вірогідних інтервалів для середнього та дисперсії нормальної випадкової величини. Задача про вибір з двох гіпотез. Похибки першого та другого роду. Критична множина, рівень значущості, потужність. Гіпотези про параметри нормальних спостережень. Критерії хі-квадрат узгодженості та незалежності.
    16. Фінансова математика

      Одноперіодна модель фінансового ринку

      Одноперіодна модель фінансового ринку. Портфель інвестора. Арбітражна можливість фінансового ринку. Міри, нейтральні до ринку. Перша основна теорема фінансової математики. Досяжні платіжні зобов’язання. Закон однієї ціни. Похідні цінні папери. Платіжні зобов’язання. Множина безарбітражних цін. Універсальні межі цін опціонів. Пут-кол паритет. Структура множини безарбітражних цін для досяжних і недосяжних платіжних зобов’язань. Друга основна теорема фінансової математики. Повні ринки. Функція корисності. Твердий еквівалент. Коеффіцієнти Арроу-Пратта несхильності до ризику. Оптимізація портфеля за допомогою функції корисності. Середньо-квадратичне хеджування. Теорія Марковіца.

      Динамічна теорія арбітражу

      Динамічна теорія фінансових ринків. Структура фінансового ринку з багатьма періодами. Самофінансовані стратегії. Безарбітражні ринки в динамічній постановці. Мартингальні міри та їх зв’язок з арбітражними можливостями. Основна теорема фінансової математики для багатоперіодних моделей. Європейські платіжні зобов’язання. Досяжні Європейські платіжні зобов’язання. Справедливі ціни дисконтованих платіжних зобов’язань. Біноміальна модель. Оцінювання і хеджування. платіжних зобов’язань в рамках біноміальної моделі. Американські платіжні зобов’язання на дискретному ринку. Часова структура та оцінювання облігацій.

      Арбітражне оцінювання в неперервному часі

      Вінерівський процес. Стохастичний інтеграл. Формула Іто. Зображення Іто. Теорема Гірсанова. Ринок Блека-Шоулза. Принцип інваріантності та збіжність дискретних моделей до неперервних. Безарбітражність та повнота в моделі Блека-Шоулза. Формула Блека-Шоулза. Хеджування в моделі Блека-Шоулза. Грецькі символи.

    17. Теорія складності

      Обчислювальні задачі і моделі.

      Задачі пошуку і розпізнавання. Детерміновані, недетміновані, оракульні та ймовірності машини Тьюрінга. Алгоритмічно нерозв’язні задачі. Булеві схеми.

      Основні класи складності.

      Часова і просторова складності. Класи P та NP. Поліноміальна звідність. Клас PSPACE. Інтерактивні доведення.

      NP-повнота.

      Теорема Кука-Левіна. NP-повні задачі в математичній логіці, теорії графів та теорії чисел. Застосування в криптографії.

    18. Функціональне програмування

      Математичні основи.

      Категорії та функтори. Моноїди. Монади. Імперативне і функціональне програмування. l-числення. Типізація.

      Мова програмування Haskell.

      Основи синтаксису. Типи та функції. Конструювання типів. Створення бібліотек. Використання класів типів. Ввід-вивід. Програмування з монадами.

      Прикладні задачі.

      Парсінг. Розпізнавання. Веб-програмування. Системне програмування.

    19. Алгебра
      Вступ до теорії груп: групи підстановок, матричні групи, теорема Лагранжа, нормальні підгрупи, теорема про гомоморфізм, дія групи на множині, скінченнопороджені абелеві групи, застосування в криптографії. Вступ до теорії кілець: кільця многочленів, області цілісності, ідеали, евклідові і факторіальні кільця, розширення полів, скінченні поля, поняття про теорію Галуа, застосування.
    20. Алгоритмічна теорія чисел.
      Алгоритми перевірки натуральних чисел на простоту, факторизація натуральних чисел. дискретний логарифм над скінченними полями, поліноміальна факторизація, алгоритмічна нерозв’язність діофантових рівнянь, алгоритми обчислень на еліптичних кривих і в числових полях, застосування в криптографії і теорії кодування.
    21. Комплексний аналіз
      Комплексні числа, зображення їх на площині, форми запису комплексних чисел, дії над комплексними числами. Поняття розширеної комплексної площини.
      Поняття функції комплексної змінної та її похідної. Умови Коші-Рімана. Поняття конформного відображення. Основні властивості елементарних аналітичних функцій (лінійної і дробово-лінійної функції, степеневої і показникової функцій, функції Жуковського, тригонометричних функцій).
      Інтеграл вздовж шляху від функції комплексної змінної, теорема Коші про інтеграл вздовж шляху. Інтегральна формула Коші. Теорема Ліувілля.
      Розвинення аналітичних функцій в ряд Тейлора. Формула Коші-Адамара. Аналітичність суми степеневого ряду.
      Розвинення аналітичних функцій в ряд Лорана.
      Означення особливої точки функції комплексної змінної, класифікація таких точок .
      Поняття лишку. Основна теорема про лишки. Формули для обчислення лишків. Застосування теорії лишків для обчислення інтегралів і сум рядів. Поняття логарифмічного лишку. Принцип аргументу. Теорема Руше та її застосування.
      Основи операційного числення: означення перетворення Лапласа і його основні властивості. Застосування перетворення Лапласа для знаходження розв’язків лінійних звичайних диференціальних рівнянь і крайових задач математичної фізики.
    22. Криптографічні протоколи

      Криптографічні протоколи та механізми

      Криптографічні протоколи та механізми. Типи протоколів та атак на них. Атаки на схеми шифрування. Моделі оцінювання безпечності. Криптографічні примітиви: хеш-функції, протоколи з таємним та відкритим ключами.

      Приклади протоколів

      Протокол Діффі-Хелмана встановлення спільного таємного значення для двох абонентів. Однораундовий протокол встановлення спільного таємного значення для трьох абонентів з використанням білінійних парних відображень. Шифрування з використанням ідентифікаційних даних. Протокол короткого цифрового підпису.
      Некомутативні скінченно задані групи та їх застосування в криптографії. Некомутативний аналог протоколу Діффі-Хелмана встановлення спільного таємного значення.
      Різні типи цифрових підписів. Протоколи цифрового підпису на основі RSA та у скінченних циклічних групах. Протокол сліпого цифрового підпису на основі RSA. Мультипідписи. Пороговий цифровий підпис.

    23. Теорія інформації і кодування
      Математичні моделі сигналів, основні підходи до вимірювання кількості інформації, теорія передачі інформації, теорема Шеннона, оптимальне кодування, загальна характеристика алгоритмів стискування даниїх, кодова відстань, завадостійке кодування, коди з виправленням помилок, лінійні коди, коди Ріда-Соломона, алгебро-геометричні коди
    24. Математичні основи захисту інформації

      Сучасні задачі захисту інформації

      Основні задачі захисту інформації. Криптографічні протоколи та механізми. Типи протоколів та атак на них. Атаки на схеми шифрування. Моделі оцінювання безпечності. Криптографічні примітиви: хеш-функції, протоколи з таємним та відкритим ключами.

      Комбінаторно-алгебраїчні криптосистеми

      Скінченні циклічні групи в криптографії. Використання білінійних парних відображень в криптографії. Скінченні циклічні групи, пов'язані парним відображенням Тейта. Однораундовий протокол встановлення спільного таємного значення для трьох абонентів. Шифрування з використанням ідентифікаційних даних. Протокол короткого цифрового підпису.
      Квантова схема обчислень. Некомутативні скінченно задані групи та їх застосування в криптографії. Решітки в криптографії
      Різні тіпи цифрових підписів. Протокол сліпого цифрового підпису на основі RSA. Мультипідписи. Пороговий цифровий підпис.
      Ідея гомоморфної криптографії. Гомоморфні властивості RSA та криптосистеми Ель Гамаля. Криптосистема Гольдвассер-Мікалі.

    25. Лінійна алгебра

      Системи лінійних рівнянь, векторні простори, визначники.
      Поняття СЛР, поняття розв'язку СЛР, класифікація СЛР. Поняття матриці СЛР, метод Гаусса розв'язування СЛР.
      Арифметичний векторний простір. Лінійно залежні та незалежні системі векторів. Ранг системи векторів. Базис і розмірність простору. Поняття підпростору. Дії над підпросторами. Поняття абстрактного векторного простору.
      Ранг матриці, теорема про ранг. Теореми Кронекера-Капеллі. Структура розв'язків СЛР.
      Застосування СЛР (задача інтерполяції, модель Леонтьєва та ін.).
      Поняття визначника, властивості визначників. Застосування визначників: теорема Крамера, мінорний ранг матриці, визначник Вандермонда.

      Лінійні відображення. Евклідові та унітарні простори
      Поняття лінійного відображення. Ядро і образ лінійного відображення. Поняття матриці лінійного відображення. Зміна матриці лінійного відображення при зміні базису.
      Власні числа і власні вектори. Характеристичний многочлен. Теорема Гамільтона-Келі. Поняття жорданової нормальної форми.
      Застосування лінійних відображень.
      Білінійні і квадратичні функції. Канонічні вигляди. Додатна визначеність квадратичних форм. Критерій Сильвестра. Закон інерції дійсних квадратичних форм. Застосування до геометрії (криві другого порядку).
      Евклідові і унітарні простори. Геометрія евклідових та унітарних просторів. Оператори в евклідових та унітарних просторах.

    26. Рівняння математичної фізики
      Диференціальні рівняння з частинними похідними другого порядку, їх класифікація. Основні типи рівнянь математичної фізики (рівняння малих коливань струни, мембрани, теплопровідності, Лапласа, Пуассона).
      Постановка основних задач математичної фізики для рівнянь гіперболічного типу та їх фізичний зміст. Формули Даламбера, Кірхгофа, Пуассона. Побудова розв’язків основних мішаних крайових задач для рівнянь гіперболічного типу за допомогою методу відокремлення змінних (методу Фур’є).
      Постановка основних задач математичної фізики для рівнянь параболічного типу та їх фізичний зміст. Принцип максимуму для розв’язків рівняння теплопровідності. Побудова розв’язків основних мішаних крайових задач для рівнянь параболічного типу за допомогою методу відокремлення змінних.
      Постановка основних задач математичної фізики для рівнянь еліптичного типу та їх фізичний зміст. Побудова розв’язків основних крайових задач для рівняння Лапласа і Пуассона за допомогою методу відокремлення змінних.
    27. Диференціальні рівняння.

      Диференціальні рівняння як математичні моделі процесів і явищ довкілля.

      Скалярні диференціальні рівняння першого порядку. Приклади інтегровних диференціальних рівнянь. Комп’ютерні засоби знаходження розв’язків. Поля напрямків, інтегральні криві та комп’ютерні засоби їх графічного зображення. Теореми існування та єдиності розв'язків.

      Лінійні диференціальні рівняння довільного порядку.

      Лінійні однорідні рівняння (ЛОР), фундаментальна система розв’язків та загальний розв’язок. ЛОР зі сталими коефіцієнтами. Неоднорідні лінійні диференціальні рівняння, метод Лагранжа, метод невизначених коефіцієнтів. Вимушені коливання. Лінійні однорідні системи диференціальних рівнянь, фундаментальна матриця, загальний розв'язок. Фазові портрети двовимірних систем. Лінійні однорідні системи зі сталими коефіцієнтами. Лінінійні неоднорідні системи.

      Нелінійні системи диференціальних рівнянь.

      Метод виключення. Перші інтеграли. Вступ до теорії стійкості за Ляпуновим. Стійкість положень рівноваги автономних систем.