Анонс

Конференции, школы, семинары

Продолжается студенческий опрос, разработанный группой специалистов международного рейтинга U-Multirank. Приглашение.

Вход на сайт

15 + 0 =
x

#{title}

#{text}

Вы здесь

Научная алгебраическая школа

История

Мировому математическому сообществу хорошо известна алгебраическая школа Киевского университета, основателем которой в начале ХХ века стал выдающийся математик и механик Д.О.Граве. Его знаменитый семинар, на котором, в частности, изучались проблемы теории групп, теории алгебраических чисел, открыл путь в науку таким известным учёным как М.П.Кравчук, О.Ю.Шмидт, М.Г.Чеботарёв, Б.М.Делоне, А.М.Островский.

Своим вторым рождением алгебраическая школа Киевского университета во многом обязана профессору Л.А.Калужнину, который в 1956 году переехал из Берлина в Киев, принеся с собой традиции и математическую культуру лучших университетов Франции и Германии. Среди воспитанников этой школы — профессора В.В.Кириченко, Ю.А.Дрозд, В.И.Сущанский, О.Г.Завадский, В.О.Устименко, доктора физико-математических наук В.В.Сергейчук, В.М.Футорный, В.В.Бавула, В.С.Мазорчук, доценты В.В.Плахотник, А.Г.Ганюшкин, С.А.Овсиенко.

В последние годы исследования учёных кафедры алгебры проводились под руководством её заведующего — профессора В.И.Сущанского и профессора Ю.А.Дрозда в двух основных направлениях: теория групп преобразований с применениями в алгебраической комбинаторике и категорно-геометрические методы представлений алгебраических структур. В частности, В.И.Сущанский со своими учениками В.В.Некрашевичем и А.С.Олийныком получил важные результаты о строении групп автоморфизмов деревьев, заложил основы теории групп и полугрупп автоматных преобразований; вместе с А.Г.Ганюшкиным описал конечные однородные метрические пространства с широким спектром значений метрики, вместе с О.Е.Безущак описал группы изометрий обобщённых метрик беровского типа. Ю.А.Дрозд разработал технику применения матричных задач к классификации модулей Коена-Маколея и векторных расслоений, описал стабильные гомотопические типы полиэдров размерностей меньше 5, вместе с С.А.Овсиенком доказал сходимость представительных типов локально конечномерной матричной задачи и её фактора по свободному действию группы без кручения.

Школа теории представлений была основана в начале 60-х годов, когда в университете при кафедре алгебры и математической логики работал семинар по гомологической алгебре под руководством А.Ройтера. В этом семинаре принимали участие Ю.Дрозд, В.Кириченко, С.Кругляк, Л.Назарова. Первые двое стали сотрудниками кафедры и положили начало развитию школы теории представлений в университете.

Характерной особенностью школы являются новые, нетрадиционные разделы теории представлений. Так, первые исследования, выполненные её членами, касались теории целочисленных представлений колец, которая в это время только начинала своё развитие. Это дало возможность Киевской школе стать ведущей по многим вопросам. В первую очередь тут следует отметить подробное изучение специальных классов порядков: наследственных, басовых, квазибасовых. Классическим результатом этих исследований стал критерий конечности числа неразложимых представлений для локальных порядков, полученный в 1972 г. Ю.Дроздом и В.Кириченком. Не случайно, на Всесоюзной школе по теории представлений в Ужгороде, в сентябре 1972 г., именно они делали обзор результатов из теории целочисленных представлений.

Начиная с 70-х годов, центр исследований в Киевской школе смещается в сторону теории конечномерных алгебр, а также нового метода, введённого в теории представлений, в первую очередь, именно благодаря работам киевских учёных: метода "матричных задач". Этот метод вышел из рассмотрения некоторых проблем линейной алгебры, которые естественно возникали при вычислении представлений, и постепенно превратился в один из самых эффективных средств, как вычисления, так и качественного исследования представлений. Одним из самых известных результатов в этом направлении стала теорема про то, что каждая конечномерная алгебра является или ручной, или же дикой, доказанная Ю.Дроздом в 1979 году. Когда, в конце 80-х годов, стало возможным участие киевских учёных в международных конференциях, Ю.Дрозд был приглашён на специальную сессию Банаховского научного центра (1988) и Лондонского математического общества (1989) с докладами, посвящёнными этом результату. Начиная с 1990 года, Ю.Дрозда постоянно приглашают со специальными докладами на международные конференции по представлениям алгебр и их применений (ICRA), а с 1994 г. он входит в научный комитет этих конференций.

Самые важные результаты, полученные Ю.Дроздом, С.Овсиенко, В.Сергийчуком и их учениками – теория накрытий для матричных задач и конечномерных алгебр и теорема про совпадение представительных типов алгебры и её накрытия; теория матричных задач с инволюцией; теория A(Ґ)-категорий и производных категорий для матричных задач и. т.д.

Одновременно с этим направлением продолжаются исследования, связанные с теорией порядков и близких вопросов общей теории колец и модулей. Широкое признание получила теория цепных колец, разработанная В.Кириченко (ей была посвящена, в частности, обзорный доклад в Банаховском научном центре в 1988 году) и мультипликативная теория идеалов коммутативных колец, развитая Ю.Дроздом. Новое направление в изучении некоммутативных аффинных алгебр, в первую очередь бесконечномерных простых алгебр, развил В.Бавула. Его результаты докладывались на ICRA (в 1994, 1996 и 1998 гг.) и на международных конференциях по теории колец в Антверпене (1997) и в Эдинбурге (1998).

С 80-х годов, по инициативе Ю.Дрозда, начинаются исследования по теории представлений алгебр и групп Ли – важной отрасли современной математики, которая до этого времени в Украине почти не развивалась. Самые важные результаты тут получил В.Футорный. Он разработал общую теорию обобщённых модулей Верма как для классических простых алгебр Ли, так и для аффинных алгебр; в последнем случае, в частности, были описаны и все возможные параболические разбиения систем корней. Эти результаты неоднократно докладывались на собраниях Американского и Канадского математических обществ, в Тата-Институте (Бомбей), Международном научном центре в Триесте и т.д. Важные результаты про строение весовых модулей над новыми классами алгебр Ли получил В.Мазорчук.

Плодотворно работает над вопросами теории алгебр Ли профессор А.П.Петравчук. Он изучил свойства бесконечномерных алгебр Ли, которые раскладываются в сумму двух своих нильпотентных подалгебр, построил пример нерешаемой алгебри Ли, который даёт отрицательное решение проблемы известного немецкого математика О.Кегеля.

Современные достижения

В последние годы, благодаря установлению широких международных связей, тематика школы расширяется дальше. В неё вошли исследования по алгебраической геометрии (теория особенностей и векторных расслоений) и алгебраической топологии. В частности, в сотрудничестве с немецкими математиками, разработана теория модулей Коена–Маколея над одномерными особенностями (как коммутативными, так и некоммутативными); описаны векторные расслоения над проективными кривыми (в том числе особыми); получена классификация стабильных гомотопических типов полиэдров в нескольких новых случаях; описаны квадратические модули и некоторые классы кубических модулей. Результаты докладывались на международных научных конференциях по теории особенностей (Обервольфах, 1995, 1999) и по теории полиномиальных функторов (Рингберг, 1999), а также на Международной конференции по теории представлений в Сан Пауло (1999).

Важным направлением деятельности школы является компьютерная алгебра и её применения к теории представлений. С.Овсиенко является членом Международного координационного комитета по этим вопросам, где киевские профессионалы плодотворно сотрудничают с учёными Германии, США, Польши, Канады, Мексики.

За время существования школы защищены шесть докторских диссертаций (Ю.Дрозд, В.Кириченко, В.Сергийчук, В.Футорный, В.Бавула, В.Мазорчук) и более 20 кандидатских диссертаций. Сейчас в состав школы входит около 20 учёных, которые активно работают в этой отрасли. Учебное пособие Ю.Дрозда и В.Кириченко "Конечномерные алгебры" переведён на английский язык издательством Шпрингер; оно стал основным учебником для студентов по этой теории практически во всём мире. С 1998 года Ю.Дрозд вместе с А.Версхореном (Антверпен) издают международный журнал "Алгебры и теория представлений" (в издательстве Клувер, Нидерланды).

Влияние школы распространяется и на другие регионы Украины, особенно на Львовский и Ужгородский университеты. Выпускники школы (ежегодно это пять-шесть студентов) работают по всей Украине и во многих других странах мира. Научный семинар по теории представлений, под руководством Ю.Дрозда и С.Овсиенко, является ведущим в своей отрасли. В 1997 г. в Киевском университете была проведена Международная конференция по теории представлений и компьютерной алгебре. В ней приняли участие около 40 учёных из зарубежья (Германии, Великобритании, США, Канады, Мексики, Польши, Норвегии, Румынии, России).

В наше время важным направлением деятельности алгебраической школы является компьютерная алгебра и её применения в теории представлений.